Die  Zifferngruppen - Regeln  -  unbekannte  Teilbarkeitsregeln

In Mathebüchern und im Internet findet man öfter folgende Teilbarkeitsregeln:
(bezogen auf die Darstellung in einem beliebigen Zahlensystem mit Basis B)


Quersummenregel:   Eine Zahl ist durch B-1 teilbar, wenn ihre Quersumme durch B-1 teilbar ist

Alternierende Quersummenregel: Eine Zahl ist durch B+1 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch B+1 teilbar ist

Palindromregel: Eine Zahl ist durch B+1 teilbar, wenn sie eine gerade Anzahl Ziffern hat und symmetrisch zu ihrer Mitte ist (z.B. 1221)


Nicht zu finden sind aber folgende, eigentlich selbstverständliche Teilbarkeitregeln:






Die   Zifferngruppen - Regeln

Regel 1:   Identische Gruppen
Wenn eine Zahl aus identischen Zifferngruppen besteht, ist sie durch diese Zifferngruppe
(exakter: die der Gruppe entsprechende Zahl) teilbar

Beispiele: 1212 und 121212 sind durch 12 teilbar, 5353 durch 53, 12341234 durch 1234,
666666 durch 6, 66 und 666
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 1212 = 12*100 + 12 = 12*(100 + 1)

Auch der komplementäre Faktor ist leicht erkennbar,
z.B.   666666 = 6*111111 = 66*10101 = 666*1001
Er hat soviel Einsen wie die Zahl Zifferngruppen. Auf jede 1 folgen z-1 Nullen (z = Ziffernzahl der Gruppe). Jeder Zifferngruppe in der Zahl entspricht also im kompl. Faktor eine gleichlange Gruppe des Typs 100... (Ausnahme: der Zifferngruppe ganz rechts entspricht eine 1)




Regel 2:   Gruppen mit gemeinsamen Teilern
Wenn eine Zahl aus Zifferngruppen besteht, die einen gemeinsamen Teiler haben, ist dieser auch Teiler der ganzen Zahl     (hier können die Gruppen ungleich lang sein)

Beispiele: 1224, 122412 und 241236 sind durch 12 teilbar (die Gruppen haben 12, 24 und 36 haben den Teiler 12), 721, 3528 und 2149 durch 7 (die Gruppen 7, 21, 28, 35 und 49 haben den Teiler 7), 355710 durch 355
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 1224 = 12*100 + 24 = 12*100 + 12*2 = 12*(100 + 2)

Im komplementären Faktor können jetzt auch andere Ziffern als 0 und 1 vorkommen,
und die Abschnitte können ungleich lang sein.   Beispiel: 3570105 = 35*102003




Regel 3:   Gruppen von Nullen
Gruppen von Nullen zwischen (aber nicht innerhalb von) anderen Zifferngruppen ändern die Ablesbarkeit der Teilbarkeit nicht     (aber der Zahlenwert und meist die Teilbarkeit ändern sich)

Beispiele: 1212, 12012, 120012 und 1200024012 sind durch 12 teilbar (über 10212 und 12102 ist nach dieser Regel keine Aussage möglich - tatsächlich ist 10212 durch 12 teilbar, 12102 nicht), 474747, 47047 und 4700047047 sind durch 47 teilbar
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 12012 = 12*1000 + 12 = 12*(1000 + 1)

Regel 3 ist ein Sonderfall von Regel 2, denn 0 ist ja durch jede Zahl teilbar

Im komplementären Faktor treten die Nullen unverändert an der entsprechenden Stelle wieder auf. Beispiel: 1212 = 12*101 , 12012 = 12*1001






Eigenschaften   der   Zifferngruppen - Regeln

- Wie die anfangs erwähnten Teilbarkeitsregeln gelten sie in jedem Zahlensystem (auch in den Plus-Zahlensystemen

- Wie die Palindrom-Regel sind sie wenn-dann-Regeln, aber keine genau-dann-wenn-Regeln wie die Quersummenregeln: Besagt die Regel die Teilbarkeit, dann stimmt das - aber die Teilbarkeit ist nicht immer erkennbar

- Im Ggs. zu den anderen Teilbarkeitsregeln können die Gruppenregeln über beliebige Teiler etwas aussagen (nicht nur über B-1, B+1, B2-1, B2+1, ...)

- Im Ggs. zu den anderen Teilbarkeitsregeln ist der komplementäre Faktor leicht erkennbar






Anwendungen

- Prüfen einer Zahl auf irgendeine Teilbarkeit

- Entwicklung eines Algorithmus zur Faktorisierung einer Zahl   (Zerlegung in Primzahlen):

Gesucht wird eine Zifferngruppe X, die, zur untersuchenden Zahl N addiert (meist mehrmals und verschoben, d.h. mit verschiedenen Stellenwerten multipliziert), diese auf eine Form bringt, aus der nach den Gruppenregeln der Teiler X ablesbar ist. Man dreht sich dabei im Kreise, aber ein solcher Algorithmus ist deshalb nicht von vornherein unmöglich.




Homepage  Leonhard Heinzmann                                      Stand: 21. 4. 2013