Die Zifferngruppen - Regeln - unbekannte Teilbarkeitsregeln
In Mathebüchern und im Internet findet man öfter folgende Teilbarkeitsregeln:
(bezogen auf die Darstellung in einem beliebigen Zahlensystem mit Basis B)
Quersummenregel: Eine Zahl ist durch B-1 teilbar, wenn ihre Quersumme durch B-1 teilbar ist
Alternierende Quersummenregel: Eine Zahl ist durch B+1 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch B+1 teilbar ist
Palindromregel: Eine Zahl ist durch B+1 teilbar, wenn sie eine gerade Anzahl Ziffern hat und symmetrisch zu ihrer Mitte ist (z.B. 1221)
Nicht zu finden sind aber folgende, eigentlich selbstverständliche Teilbarkeitregeln:
Die Zifferngruppen - Regeln
Regel 1: Identische Gruppen
Wenn eine Zahl aus identischen Zifferngruppen besteht, ist sie durch diese Zifferngruppe
(exakter: die der Zifferngruppe entsprechende Zahl) teilbar (und auch durch alle Teiler dieser Zifferngruppe)
Beispiele: 1212 und 121212 sind durch 12 teilbar, 5353 durch 53, 12341234 durch 1234,
666666 durch 6, 66 und 666
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 1212 = 12*100 + 12 = 12*(100 + 1)
Auch der komplementäre Faktor ist leicht erkennbar,
z.B. 666666 = 6*111111 = 66*10101 = 666*1001
Er hat soviel Einsen wie die Zahl Zifferngruppen.
Auf jede 1 folgen z-1 Nullen (z = Ziffernzahl der Gruppe).
Jeder Zifferngruppe in der Zahl entspricht also im komplementären Faktor eine
gleichlange Gruppe des Typs 100... (Ausnahme: der Zifferngruppe ganz rechts entspricht eine 1)
Regel 2: Gruppen mit gemeinsamen Teilern
Wenn eine Zahl aus Zifferngruppen besteht, die einen gemeinsamen Teiler haben,
ist dieser auch Teiler der ganzen Zahl (hier können die Gruppen ungleich lang sein)
Beispiele: 1224, 122412 und 241236 sind durch 12 teilbar (die Gruppen 12, 24 und 36 haben den Teiler 12),
721, 3528 und 2149 durch 7 (die Gruppen 7, 21, 28, 35 und 49 haben den Teiler 7),
355710 durch 355
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 1224 = 12*100 + 24 = 12*100 + 12*2 = 12*(100 + 2)
Im komplementären Faktor können jetzt auch andere Ziffern als 0 und 1 vorkommen,
und die Abschnitte können ungleich lang sein. Beispiel: 3570105 = 35*102003
Regel 3: Gruppen von Nullen
Gruppen von Nullen zwischen (aber nicht innerhalb von) anderen Zifferngruppen
ändern die Ablesbarkeit der Teilbarkeit nicht
(aber der Zahlenwert und meist die Teilbarkeit ändern sich)
Beispiele: 1212, 12012, 120012 und 1200024012 sind durch 12 teilbar (über 10212 und 12102 ist
nach dieser Regel keine Aussage möglich - tatsächlich ist 10212 durch 12 teilbar, 12102 nicht),
474747, 47047 und 4700047047 sind durch 47 teilbar
Beweis: folgt aus der Zahlendarstellung, z.B. 12012 = 12*1000 + 12 = 12*(1000 + 1)
Regel 3 ist ein Sonderfall von Regel 2, denn 0 ist ja durch jede Zahl teilbar
Im komplementären Faktor treten die Nullen unverändert an der entsprechenden
Stelle wieder auf. Beispiel: 1212 = 12*101 , 12012 = 12*1001
Eigenschaften der Zifferngruppen - Regeln
- Wie die anfangs erwähnten Teilbarkeitsregeln gelten sie in jedem Zahlensystem
(auch in den Plus-Zahlensystemen
- Wie die Palindrom-Regel sind sie wenn-dann-Regeln, aber keine genau-dann-wenn-Regeln
wie die Quersummenregeln: Besagt die Regel die Teilbarkeit, dann stimmt das - aber die
Teilbarkeit ist nicht immer so erkennbar
- Im Ggs. zu den anderen Teilbarkeitsregeln können die Gruppenregeln über beliebige
Teiler etwas aussagen (nicht nur über B-1, B+1, B2-1, B2+1, ...)
- Im Ggs. zu den anderen Teilbarkeitsregeln ist der komplementäre Faktor leicht erkennbar
Anwendungen
- Prüfen einer Zahl auf irgendeine Teilbarkeit
- Entwicklung eines Algorithmus zur Faktorisierung einer Zahl (Zerlegung in Primzahlen):
Gesucht wird eine Zifferngruppe X, die, zur untersuchenden Zahl N addiert
(meist mehrmals und verschoben, d.h. mit verschiedenen Stellenwerten multipliziert),
diese auf eine Form bringt, aus der nach den Gruppenregeln der Teiler X ablesbar ist.
Man dreht sich dabei im Kreise, aber ein solcher Algorithmus ist deshalb nicht von vornherein unmöglich.
Homepage Leonhard Heinzmann Stand: 31. 12. 2018