Andere +1 Zahlensysteme
Unbedingt zuerst den Artikel über das 3+1 Zahlensystem
lesen !
Andere +1 Zahlensysteme
Ganz analog zum 3+1 System lassen sich auch andere +1 Systeme
bilden: Das kleinstmögliche ist das 2+1 System. Interessanter
ist vielleicht das 4+1 System.
Multiplikation mit der Basis b des Zahlensystems ist immer
möglich durch Einfügen der Ziffer b-1 nach der Anfangs-1.
Denn Anfangs-1 + neue Ziffer b-1 = b (dasselbe wie Multiplikation der Anfangs-1 mit b),
und alle höheren Ziffern werden durch das Anheben mit b multipliziert.
Bei der Multiplikation von 2 Zahlen im 4+1 System wird, nach
Übereinanderstellen der Zahlen, neben jeder Ziffer 4 der unteren Zahl
die obere Zahl (ohne Anfangs-1) addiert, neben jeder Ziffer 2 die obere
Zahl subtrahiert. Aber neben jeder Ziffer 1 der unteren Zahl muß die
obere zweimal subtrahiert werden (einmal mit Anfangs-1). Kurz:
der einfache Multiplikationsalgorithmus des 3+1-Systems wird,
auf andere Systeme übertragen, komplizierter.
Das ist jedoch kein Beweis dafür, daß in den anderen Systemen
kein einfacher Multiplikationsalgorithmus möglich ist.
Natürlich lassen sich Zahlen aus allen Zahlensystemen ins 3+1
System wandeln, um dort den einfachen Multiplikationsalgorithmus
zu nutzen. Anschließend müssen dann wieder zurückverwandelt werden.
(Beide Verfahren sind weiter oben beschrieben). Der Umwandlungsaufwand
ist jedoch so hoch, daß sich das Ganze nicht lohnt. (Vielleicht findet
man noch ein einfacheres Umwandlungsverfahren, oder einen ähnlich
einfachen Multiplikationsalgorithmus z.B. für's Dezimalsystem).
Für Zahlen aus +1 Zahlensystemen mit einer Dreierpotenz als Basis
gibt es ein einfacheres Umwandlungsverfahren. Wir zeigen es am
Beispiel 9+1 System:
Das 9+1 Zahlensystem
Es hat die Ziffern 1-9, die Stellenwerte sind Potenzen von 9.
Hier die Reihe der Zahlen, die Potenzen von 9 sind: 1, 81, 881, 8881
... (= dezimal 1, 9, 81, 729 ...)
Man kann den einfachen Multiplikationsalgorithmus des 3+1 Systems
auch hier anwenden, indem man die Zahlen ins 3+1 System umwandelt,
sie addiert und wieder ins 9+1-System zurückverwandelt:
1) Umcodieren: Aus einer 9-er Ziffer macht man zwei 3-er Ziffern wie folgt:
1 = 01 4 = 11 7 = 21
2 = 02 5 = 12 8 = 22
3 = 03 6 = 13 9 = 23
So wird z.B. aus der Zahl 8271 die Ziffernfolge 22 02 21 1
2) Null eliminieren: Obige Ziffernfolge ist im 3+1 System keine
korrekte Zahl, da sie Null enthält. Abhilfe: Eine führende 0
kann man einfach weglassen. Ansonsten:
- jede Ziffer 0 wird eliminiert, indem wir sie durch 3 ersetzen
und an der nächsthöheren Stelle 1 subtrahieren. (Steht dort 1,
wird daraus 0, und wir müssen das Verfahren fortsetzen).
Die 1 eine Stelle weiter oben bedeutete wegen des 3-fachen
Stellenwerts soviel wie eine 3 darunter.
Aus der Ziffernfolge 22 02 21 1 wird so 21 32 21 1, was
eine korrekte Zahl im 3+1 System ist.
3) Multiplikation wie im 3+1 System durchführen.
4) Null zurückbringen: Das Rechenergebnis ist eine Zahl im 3+1 System.
Um sie ins 9+1 System zurückverwandeln zu können, tun wir folgendes:
Ab der Anfangs-1 (ausschließlich) gruppieren wir die Ziffern in Blöcke
zu je zwei. Hier können jetzt auch die Ziffernkombinationen 31, 32, 33
(Dezimalwerte: 10, 11, 12) vorkommen, denen keine 9-er Ziffer entspricht.
Abhilfe:
- jede Ziffer 3 an oberer Stelle einer Zweiergruppe von Ziffern
wird eliminiert, indem wir sie durch 0 ersetzen und zur nächsthöheren
Stelle 1 addieren. (Steht dort 3, müssen wir das Verfahren fortsetzen).
Die 1 eine Stelle weiter oben bedeutet wegen des 3-fachen Stellenwerts
soviel wie eine 3 darunter.
5) Das Ergebnis ins 9+1 System zurückverwandeln: Wie bei Schritt 1)
wird umcodiert, diesmal in entgegengesetzter Richtung: aus
zwei 3-er Ziffern wird eine 9-er Ziffer.
Man fragt sich natürlich, ob sich der Aufwand lohnt.
Wobei zu bemerken ist, daß der Umcodieraufwand relativ gering ist.
Es ist mehr Schreib- als Denkarbeit. Es wäre aber für einen Menschen einfacher,
die Multiplikation gleich im 9+1 System durchzuführen.
Aber man kann die Ziffern des 9+1 Systems so gestalten, daß der
Umcodieraufand gleich 0 ist: wenn nämlich jede 9-er Ziffer aus
zwei 3-er Strichziffern zusammengesetzt ist, die mit minimalem
Abstand (1 Strichdicke) aufeinander folgen. Zwischen solchen
Doppelziffern liegt dann ein etwas größerer Abstand.
Um dann eine solche Zahl ins 3+1 System zu verwandeln, müssen
nur die Ziffern 0 eliminiert werden.
Man könnte auch bei solchen Doppelziffern die untere Teilziffer
mit senkrechten, die obere mit schrägen oder waagrechten Strichen
oder mit Punkten zu schreiben.
Man erkennt an diesem Beispiel, daß die optische Repräsentation
eines Zahlensystems (Zifferngestaltung, Strichziffern) sowie
die akustische Repräsentation (kurze Silben für alle Ziffern)
für die Anwendbarkeit eines Zahlensystems entscheidend sein können.
Die Benutzung der hier beschriebenen Techniken ist frei Stand: 12.2.05 Autor und Erfinder: Leonhard Heinzmann Homepage